PERMUTASI DAN KOMBINASI

Nama     : Ayu Bella
Kelas     : A
NPM     : 432007006110226
Matkul   : Matematika diskrit

Permutasi

Permutasi adalah penyusunan beberapa objek dengan memperhatikan urutannya. Yang perlu diperhatikan dalam permutasi adalah objek-objek yang ada harus dibedakan satu dengan yang lainnya. Permutasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

  n = n! /( n – r )!                      

• Permutasi Tanpa Pengulangan

Permutasi berkaitan dengan pengaturan suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan objek tanpa ada pengulangan. Susunan pada permutasi memperhatikan urutannya.
Permutasi Dengan Pengulangan
Permutasi dengan pengulangan merupakan permutasi r objek dari n buah objek yang tidak harus berbeda.

Permutasi Siklik
Permutasi siklik berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang melingkar.

Contoh soal-soal Permutasi dan Kombinasi :

1.       Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara

2.       Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?
Jawab:
nPx = (n!)/(n-r)!
4P2 = (4!)/(4-2)!
        = 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .

3.       Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 5 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?
Jawaban:
P5 = (5-1)!
    = 4.3.2.1
    = 24 cara



4.       Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”?
Jawab :
 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata

5.        Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
Jawab :
Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 !
                                                                       = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 cara.
6.       Berapa banyak susunan huruf-huruf yang berbeda yang  dapat disusun dari huruf-huruf pada kata “ SSST “?
Jawab :
→ P = 4!3!  = 4.3.2.1 3.2.1  = 4 macam susunan ( SSST,SSTS, STSS,TSSS )

7.       Dengan berapa cara 9 kue yg berbeda dapat diisusun melingkar diatas sebuah meja ?
Jawab ; P = (9-1)! = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320

8.        Dalam beberapa cara 3 orang ppedagang kaki lima (A, B, C) yang menempati suatu lokasi perdagangan akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?
Jawab :
3P3 = 3!
       = 3 × 2 × 1
       = 6
9.       Menjelang HUT RI yang akan datang di salah satu desa  akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa sang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
Jawab :
6P2 = 6!/(6-2)!
       = (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)
       = 720/24
       = 30 cara
10.    Dalam berapa carakah kata “JAKARTA” dapat dipermutasikan?
Jawaban:
P7 = 7! / 1!.3!.1!.1!.1!
      = 840 cara

Kombinasi

Kombinasi adalah campuran atau gabungan atau susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.
Kombinasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

   n = n! /r ! ( n – r )!                   

Contoh soal :
1.       Untuk pemilihan 4 mahasiswa menjadi pengurus himpunan mahasiswa jurusan matematika FMIPA UNM terdapat 8 mahasiswa prodi pendidikan matematika dan 6 mahasiswa prodi matematika yang memenuhi syarat untuk dipilih. Berapa banyak cara memilih pengurus bila semua anggota pengurus dari prodi yang sama ?
Jawab :
Dari prodi pendidikan matematika 8 orang, harus dipilih 4 orang. Berarti kita hitung dengan menggunakan C (8,4) = 70 cara
Sedangkan dari prodi matematika, kita dapat memilih dengan C (6,4) = 6!/2!4! = 36x5x4!/2×4! = 15 cara.
Sehingga jika yang terpilih adalah mahasiswa dari prodi yang sama, kemungkinan banyak cara memilih adalah C (8,4) + C (6,4) = 70 + 15 = 85 cara

2.       Seorang mahasiswa pascasarjana mempunyai teman belajar 11 orang.Dengan berapa carakah jika 2 dari temannya adalah suami istri dan harus hadir bersama-sama.
Jika A dan B tidak hadir, maka 5 orang teman lainnya dapat diundang dengan cara (9,5).
Jadi banyak cara memilih di bagian ini adalah C (9,3) + C (9,5) = 9!/3!6! + 9!/5!4! = 84 + 126 = 210 cara.

3.       Sebuah panitia terdiri atas Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Berapa banyak susunan panitia yang dapat dibentuk dari 9 orang?
Dalam hal ini n = 9 dan k = 4, karena setiap posisi yaitu ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara akan dijabat oleh 1 orang maka banyak cara memilih 4 orang dari 9 orang adalah :
C (9,4) = 9! / 4! (9-4)! = 9! / 4!5! = 126 cara.
4.        Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya?
Jawaban:
Banyak cara memilih ayam = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 cara
Banyak cara memilih kambing = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6 cara
Jadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara

5.        4 Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi karyawan!
Jawab :
Pelamar putra = 9 dan pelamar putri 6 banyak cara menyeleksi :
9C5 x 6C3 = 9!/5!x(9-5)! x 6!/3!x(6-3)! = 2360

6.        Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawab :
nCx = (n!)/(x!(n-x)!)
4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)
        = 24/6 = 4 (MKB, MKH, KBH, MBH).

7.       Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....
Jawab :
6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara

8.       Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.
Jawab :
10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45

9.        Dalam sebuah ruangan terdapat 9 orang. Jika mereka saling bersalaman maka berapa banyak salaman yang akan terjadi?
Jawaban:
9C2 = 9!/2!(9-2)! = (9×8×7!)/2!7! = 36

10.   Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan , tetapi soal 1-5 harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah.
Jawaban:
5C4 = 5!/4!(5-4)! = (5×4!)/4!1! = 5

Link Blog Teman :

http://dikdik-dick.blogspot.com

http://rullymarlyani.blogspot.com

http://hiramaru-kingdom.blogspot.com 

http://lettynurlatifah.blogspot.com 

http://davidwijaya7.blogspot.com

http://kkpi.blogspot.com 

 

Baca selengkapnya »

Nama   : Ayu Bella
NPM   : 432007006110226
Kelas   : A

Baca selengkapnya »

Nama    : Ayu Bella
Kelas    : A
NPM    : 43007006110226

Baca selengkapnya »

PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA MATEMATIKA DISKRIT

Nama : Ayu Bella

NPM   : 432007006110226

Kelas : A

Matkul : Matematika Diskrit

 

        Persamaan diferensial pada matematika diskrit khususnya adalah Persamaan suatu fungsi matematika yang memiliki satu variabel atau lebih, dimana fungsi tersebut saling berhubungan antara fungsi itu sendiri dan turunanya. Selain dalam matematika diskrit, Persamaan diferensial ini juga digunakan dalam ilmu hitung lainya baik dari ilmu fisika, ekonomi dan ilmu lainya

         Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang memepelajari fungsi yang tidak diketahui nilai dari satu atau beberapa variabel yang saling berhubungan, nilai-nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dari berbagai operasi matematika. Persamaan diferensial memainkan peran penting dalam aplikasi matematika pada bidang teknik, fisika, ekonomi, dan disiplin lainnya.Persamaan diferensial kerap muncul dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, khususnya setiap kali terdapat hubungan deterministik yang melibatkan beberapa elemen yang terus menerus bervariasi (dapat dibuat model matematika dengan menggunakan fungsi) dan tingkat perubahan elemen-elemen tersebut dalam ruang dan / atau waktu (dinyatakan sebagai turunan) . 

        Hal ini kerap diilustrasikan dalam mekanika klasik, di mana gerakan digambarkan oleh posisi dan kecepatan yang dipengaruhi oleh waktu. Hukum Newton memungkinkan seseorang (mengingat posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai kekuatan bertindak pada tubuh) untuk menyatakan variabel-variabel dinamis sebagai persamaan diferensial untuk posisi yang tidak diketahui tubuh sebagai fungsi waktu. Dalam beberapa kasus, persamaan diferensial (disebut persamaan gerak) dapat dipecahkan Contoh aplikasi matematika menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola jatuh melalui udara, jika variabel yang digunakan hanya gravitasi dan hambatan udara. Percepatan bola ke arah tanah dihiung dari percepatan gravitasi dikurangi perlambatan karena hambatan udara. Diasumsikan gravitasi dianggap konstan, dan hambatan udara dapat dimodelkan sebagai berbanding lurus dengan kecepatan bola. Hal ini mengindikasikan percepatan bola, yang merupakan turunan dari fungsi kecepatannya, yang tergantung pada kecepatan. Mencari kecepatan sebagai fungsi atas waktu membutuhkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.

         Persamaan diferensial secara matematis dipelajari dari perspektif yang beranekaragam, sebagian besar mereka peduli dengan solusi-himpunan fungsi yang memenuhi persamaan (tujuannya hanya berupa perkembangan ilmu). Hanya persamaan diferensial sederhana umumnya mendapatkan hasi formula sebuah formula eksplisit. Namun, beberapa sifat-sifat dari solusi dari persamaan diferensial yang diberikan dapat ditentukan tanpa menemukan solusi yang tepat dari pemecahan persamaan diferensial tersebut. Jika solusi analitik tidak dapat ditemukan, solusi dapat diestimasi secara numerik menggunakan komputer. Teori sistem dinamik menekankan pada analisis kualitatif sistem dijelaskan oleh persamaan diferensial, sementara metode numerik yang telah dikembangkan untuk menentukan solusi dengan tingkat galat tertentu.

        Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier.

          Klasifikasi lain adalah tergantung pada banyaknya fungsi-fungsi yang tidak diketahui.Jika hanya terdapat fungsi tunggal yang akan ditentukan maka satu persamaan sudah cukup. Akan tetapi jika terdapat dua atau lebih fungsi yang tidak diketahui maka sebuah sistem dari persamaan diperlukan. Untuk contohnya, persamaan Lotka-Volterra atau predator-pray adalah contoh sistem persamaan yang sangat penting yang merupakan model dalam ekologi. 

Persamaan tersebut mempunyai bentuk :

dx/dt = ax - axy

dy/dt = -cy+ °xy

Persamaan diferensial sendiri dapat dibagi menurut : 

1. Menurut jenis atau tipe : yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. 

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan. d3y/dx3 adalah orde tiga d2y/dx2adalah orde dua dy/dx adalah orde satu.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. Sebagai contoh: ( d3y/dx3)2 + ( d2y / dx2)5 + y/x2+1 =ex adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua. 

Penerapan persamaan diferensial pada kehidupan sehari-hari dan Matematika diskrit

          Dalam penerapanya Persamaan Diferensial ini dalam matematika adalah pencarian nilai fungsi turunan untuk memudahkan perhitungan, sedangkan untuk penerapan lain ilmu yang dipengaruhi oleh Persamaan diferensial ini adalah Ilmu Fisika misal dalam hukum newton, Percepatan dan Kecepatan, Perhitungan Radio Nuklir dan masih banyak lagi.

Baca selengkapnya »